具有晶体范数的 Wulff 不等式的强稳定性

设 $K$ 为凸多面体，$\mathscr F$ 为其 Wulff 能量，并令 $\mathscr C(K)$ 表示靠近 $K$ 且其面与 $K$ 的面平行的凸多面体集合。我们证明，对足够小的 $\epsilon$，所有 $\epsilon$-极小元都属于 $\mathscr C(K)$。作为该结果的推论，我们得到了晶体范数以下的尖锐稳定性不等式：存在 $\gamma=\gamma(K,n)>0$ 和 $\sigma=\sigma(K,n)>0$，使得只要 $|E|=|K|$ 且 $|E\Delta K|\le \sigma$，就有 $$\mathscr F(E) - \mathscr F(K^a)\ge \gamma |E \Delta K^a| \qquad \text{for some }K^a \in \mathscr C(K).$$ 换言之，Wulff 能量 $\mathscr F$ 在远离集合 $\mathscr C(K)$ 时增长非常快（以幂次 $1$）。上式中出现的 $K^a \in \mathscr C(K)$ 可直观理解为 $E$ 在集合 $\mathscr C(K)$ 上的某种“投影”。我们结果的另一个推论是关于晶体的一个非常强的刚性结果：对于晶体表面张力，质量较小的 $\mathscr F(E)+\int_E g$ 的极小元是具有与 $K$ 的边平行的多面体。换言之，在质量较小时，势能无法破坏极小元的晶体结构。这将 [9] 中得到的二维结果推广到了任意维数。