Riesz 空间中条件期望算子自然域的强序列完备性

强收敛和依概率收敛在文献 [{{\sc Y. Azouzi, W.-C. Kuo, K. Ramdane, B. A. Watson}, {Convergence in Riesz spaces with conditional expectation operators}, {\em Positivity}, {\bf 19} {(2015), 647-657}}] 中被推广到带有条件期望算子 $T$ 的 Riesz 空间设定，分别称为 $T$-强收敛和 $T$-条件概率收敛。在文献 [{{\sc C. C. A. Labuschagne, B. A. Watson}, {Discrete stochastic integration in Riesz spaces}, {\em Positivity}, {\bf 14} {(2010), 859-875}}] 中，在 Riesz 空间设定下作为 $\mathcal{L}^{p}(T)$ 空间讨论了 $p=1,2,\infty$ 情形下的推广 $L^{p}$ 空间。在文献 [{{\sc W. Kuo, M. Rogans, B.A. Watson}, {Mixing processes in Riesz spaces}, {\em Journal of Mathematical Analysis and Application}, {\bf 456} {(2017), 992-1004}}] 中，针对 $p=1,\infty$ 的情形在这些空间上引入了 $R(T)$ 值范数，其中也证明了 $R(T)$ 是一个泛完备 $f$-代数，且这些空间是 $R(T)$-模。在文献 [{{\sc Y. Azouzi, M. Trabelsi}, {$L^p$-spaces with respect to conditional expectation on Riesz spaces}, {\em Journal of Mathematical Analysis and Application}, {\bf 447} {(2017), 798-816}}] 中，利用函数演算考虑了 $p\in (1,\infty)$ 的 $\mathcal{L}^{p}(T)$。本文我们证明了空间 $\mathcal{L}^{1}(T)$（条件期望算子 $T$ 的自然域）的强序列完备性，以及 $\mathcal{L}^{\infty}(T)$ 的强完备性。