物种中 Hopf 幺半群的强自对偶形式
摘要
向量物种 (vector species) 是从具有双射的有限集范畴到向量空间（在固定域上）的函子；非正式地，可将其视为 -模的序列。（向量物种范畴中的）Hopf 幺半群由一个具有单位、余单位、积和余积态射的向量物种组成，这些态射满足若干相容性条件，类似于分次 Hopf 代数。当且仅当向量物种由作为置换表示的 -模序列给出时，该向量物种才具有基。如果一个 Hopf 幺半群是连通且有限维的，并且存在一个基使得其积和余积的结构常数重合，则称该 Hopf 幺半群为自由自对偶 (freely self-dual)。此类 Hopf 幺半群在通常意义下是自对偶的，我们进一步证明它们既是交换的也是余交换的。我们证明了更具体的分类定理，针对那些积（分别为余积）在线性化意义下（即保持基）的自由自对偶 Hopf 幺半群；我们将此类 Hopf 幺半群称为强自对偶（分别为线性自对偶）。特别地，我们证明每个强自对偶 Hopf 幺半群都有一个基，同构于某种块标记集合划分的物种，其积的作用为不交并。反之，每个线性自对偶 Hopf 幺半群都有一个基，同构于映射到固定集的物种，其余积的作用为限制。由此可知，每个线性自对偶 Hopf 幺半群都是强自对偶的。我们的最终结果涉及连通、有限维、交换且余交换的 Hopf 幺半群。我们证明，此类 Hopf 幺半群具有一个基，使其积和余积均被线性化，当且仅当它相对于配备某种偏序的基是强自对偶的，这推广了集合划分上的细化偏序。
引用
@article{arxiv.1312.4681,
title = {Strong forms of self-duality for Hopf monoids in species},
author = {Eric Marberg},
journal= {arXiv preprint arXiv:1312.4681},
year = {2016}
}
备注
42 pages; v2: a few typographical errors corrected and references updated; v3: discussion in Sections 3.1 and 3.2 slightly revised, Theorem A corrected to include hypothesis about ambient field, final version