论 Hopf 伴随、Hopf 单子与 Frobenius 型性质

设$U$为单子范畴之间的强单子函子。若它既有左伴随$L$又有右伴随$R$，我们证明：当且仅当$L\dashv U$是 Hopf 伴随且$U\dashv R$是 coHopf 伴随时，对$(R,L)$是一个线性分配函子且$(U,U)\dashv (R,L)$是一个线性分配伴随。我们给出了充分条件，使得作为（左）Hopf 伴随$L\dashv U$一部分的强单子$U$，其右伴随为左伴随$L$的一个扭曲版本。特别地，所得的伴随将是（左）coHopf 伴随。更进一步，我们证明了若$L$是预余单子性的且$L\mathbf I$是一个 Frobenius 幺半群（其中$\mathbf I$表示单子范畴的单位对象），则$L\dashv U\dashv L$是一个双向伴随，且$L$是一个 Frobenius 单子函子。我们将这些结果迁移到 Hopf 单子上：我们表明在适当的正合性假设下，若对象$T\mathbf I$作为自由$T$-代数是可对偶的，则单子范畴上的 Hopf 单子$T$拥有一个也是 Hopf 余单子的右伴随。特别地，若$T\mathbf I$是$T$-代数的单子范畴中的 Frobenius 幺半群且$T$是下降型的，则$T$是一个 Frobenius 单子和一个 Frobenius 单子函子。