幂零群中互素交换子的强简明性

设 $G$ 为幂零群（profinite group）。互素交换子 $\gamma_j^*$ 与 $\delta_j^*$ 定义如下。 $G$ 的每个元素既是 $\gamma_1^*$-值也是 $\delta_0^*$-值。对 $j\geq 2$，令 $X$ 为所有作为 $\gamma_{j-1}^*$-值的幂的元素组成的集合。若存在 $x\in X$ 与 $g\in G$ 使得 $a=[x,g]$ 且 $(|x|,|g|)=1$，则元素 $a$ 为 $\gamma_j^*$-值。对 $j\geq 1$，令 $Y$ 为所有作为 $\delta_{j-1}^*$-值的幂的元素组成的集合。若存在 $x,y\in Y$ 使得 $a=[x,y]$ 且 $(|x|,|y|)=1$，则元素 $a$ 为 $\delta_j^*$-值。本文确立如下结果。幂零群 $G$ 为有限-by-准幂零当且仅当存在 $k$ 使得 $G$ 中 $\gamma_k^*$-值的集合的基数小于 $2^{\aleph_0}$。幂零群 $G$ 为有限-by-(准可解且 Fitting 高度至多为 $k$) 当且仅当存在 $k$ 使得 $G$ 中 $\delta_k^*$-值的集合的基数小于 $2^{\aleph_0}$。