互素与反互素交换子的强简洁性

profinite 群 $G$ 中的互素交换子形如 $[x,y]$，其中 $x$ 与 $y$ 的阶互素；反互素交换子则是满足 $x$ 与 $y$ 的阶被相同素数整除的交换子 $[x,y]$。本文中我们证明：若 $G$ 中互素交换子集合的基数小于 $2^{\aleph_0}$，则 profinite 群 $G$ 是有限-by-幂零的；此外，若 $G$ 中反互素交换子集合的基数小于 $2^{\aleph_0}$，则 profinite 群 $G$ 具有有限交换子子群 $G'$。