关于互素交换子被少数循环子群覆盖的有限群

互素交换子 $\gamma_j^*$ 和 $\delta_j^*$ 最近被引入作为一种工具，用于研究可以用互素阶元素的交换子表达的有限群的性质。它们的定义如下：设 $G$ 为有限群。$G$ 的每个元素既是 $\gamma_1^*$-交换子也是 $\delta_0^*$-交换子。现在设 $j\geq 2$，令 $X$ 为 $G$ 中所有是 $\gamma_{j-1}^*$-交换子的幂的元素集合。如果存在 $a\in X$ 和 $b\in G$ 使得 $g=[a,b]$ 且 $(|a|,|b|)=1$，则元素 $g$ 是一个 $\gamma_j^*$-交换子。对于 $j\geq 1$，令 $Y$ 为 $G$ 中所有是 $\delta_{j-1}^*$-交换子的幂的元素集合。如果存在 $a,b\in Y$ 使得 $g=[a,b]$ 且 $(|a|,|b|)=1$，则元素 $g$ 是一个 $\delta_j^*$-交换子。由所有 $\gamma_j^*$-交换子和所有 $\delta_j^*$-交换子生成的 $G$ 的子群分别记为 $\gamma_j^*(G)$ 和 $\delta_j^*(G)$。对于每个 $j\geq2$，子群 $\gamma_j^*(G)$ 正是 $G$ 的下中心列的最后一项（全文记为 $\gamma_\infty(G)$）；而对于每个 $j\geq1$，子群 $\delta_j^*(G)$ 正是 $\delta_{j-1}^*(G)$ 的下中心列的最后一项，即 $\delta_j^*(G)=\gamma_\infty(\delta_{j-1}^*(G))$。在本文中，我们证明了如果 $G$ 拥有 $m$ 个循环子群，其并集包含 $G$ 的所有 $\gamma_j^*$-交换子，那么 $\gamma_j^*(G)$ 包含一个阶数受 $m$ 限制的子群 $\Delta$，该子群在 $G$ 中正规，且具有性质 $\gamma_{j}^{*}(G)/\Delta$ 是循环群。如果 $j\geq2$ 且 $G$ 拥有 $m$ 个循环子群，其并集包含 $G$ 的所有 $\delta_j^*$-交换子，那么 $\delta_j^*(G)$ 的阶数受 $m$ 限制。