球面与双曲几何中加强的欧拉不等式

欧拉不等式是关联三角形内切圆半径和外接圆半径的著名不等式。在欧氏几何中，该不等式形式为 $R \geq 2r$，其中 $R$ 为外接圆半径，$r$ 为内切圆半径。在球面几何中，如\cite{MPV}所证，该不等式形式为 $\tan(R) \geq 2\tan(r)$；类似地，双曲三角形有 $\tanh(R) \geq 2\tanh(r)$（证明见\cite{SV}）。在欧氏几何中，如\cite{SV}所讨论，该不等式可被加强。我们证明了球面几何中成立的一个类似加强版不等式，以及欧氏几何中成立并可推广到球面与双曲几何的欧拉不等式的进一步加强。