量子态的层化流形与复特殊线性群的作用

我们从群论的观点综述了具有希尔伯特空间 $\mathcal{H}$ 的有限能级量子系统的量子态空间 $\mathscr{S}(\mathcal{H})$ 的几何结构。该空间承载由两个不同李群的作用生成的两种层化:特殊酉群 $\mathcal{SU}(\mathcal{H})$ 及其复化 $\mathcal{SL}(\mathcal{H})$(复特殊线性群)。由 $\mathcal{SU}(\mathcal{H})$ 生成的层化的一层由等谱态组成,即具有相同谱的密度算子;由 $\mathcal{SL}(\mathcal{H})$ 生成的层化的一层由具有相同秩的量子态组成。我们证明,在每个等谱量子态子流形上还存在一个 $\mathcal{SL}(\mathcal{H})$ 的正则左作用,它与等谱量子态上的正则 K\"{a}hler 结构相关。该 $\mathcal{SL}(\mathcal{H})$ 作用的基本向量场分为哈密顿向量场与梯度向量场。前者在 $\mathscr{S}(\mathcal{H})$ 上产生保持冯·诺依曼熵及 $\mathscr{S}(\mathcal{H})$ 凸结构的可逆映射,而后者在 $\mathscr{S}(\mathcal{H})$ 上产生保持冯·诺依曼熵但不保持 $\mathscr{S}(\mathcal{H})$ 凸结构的可逆映射。对于将 $\mathscr{S}(\mathcal{H})$ 层化为具有相同秩的量子态流形的 $\mathcal{SL}(\mathcal{H})$ 作用,给出了类似的分解,其中梯度向量场保持秩但不保持熵。对多体量子系统作了若干评述。证明了多体量子系统的积态集合是关于相应于该划分的复特殊线性群作用下的齐性流形。