映射类群量子表示的同调构造

我们为非半单 TQFT（拓扑量子场论）产生的一类映射类群的量子表示提供了一个同调模型。我们的方法为这些表示给出了一个新的几何视角，并将用于研究映射类群线性性的两个最有前景的构造统一于一个理论之中。更确切地说，若 $\varSigma_{g,1}$ 是带 $1$ 个边界分支的亏格 $g$ 曲面，我们考虑其映射类群 $\mathrm{Mod}(\varSigma_{g,1})$ 在其构型空间 $\mathrm{Conf}_n(\varSigma_{g,1})$ 的同调上的（交叉）作用，该同调带有其曲面辫群 $\pi_1(\mathrm{Conf}_n(\varSigma_{g,1}))$ 的 Heisenberg 商 $\mathbb{H}_g$ 中的扭曲系数。我们证明该作用与我们用纯同调手段定义的 $\mathfrak{sl}_2$ 的量子群的作用交织在一起。对于 $\mathbb{H}_g$ 的有限维线性表示（依赖于单位根 $\zeta$），我们调整该构造以获得 $\mathrm{Mod}(\varSigma_{g,1})$ 的一个射影表示。最后，我们通过一个显式同构，识别出 $\mathrm{Mod}(\varSigma_{g,1})$ 的一个子表示，它等价于在 $\zeta$ 处与量子 $\mathfrak{sl}_2$ 相关的非半单 TQFT 所产生的量子表示。在此过程中，我们给出了等价两边 $\mathrm{Mod}(\varSigma_{g,1})$ 和量子 $\mathfrak{sl}_2$ 的所有标准生成元作用的具象基与显式公式，并回答了 Crivelli、Felder 和 Wieczerkowski 的一个问题。我们还确保这些表示在 Torelli 群 $\mathcal{I}(\varSigma_{g,1})$ 上的限制是整的，即在所述基下其作用系数位于分圆整数环 $\mathbb{Z}[\zeta]$ 中。