厘清Frobenius-Schur指标

Frobenius-Schur指标是赋予TQFT中每个自对偶粒子 $a$ 的参数 $\kappa_a=\pm 1$。若 $\kappa_a$ 为负，则将类型为 $a$ 的粒子世界线中的类时之字形拉直可能产生一个负号，此时与该图相关的振幅在形变下不是不变的。这已导致对即便简单理论对时空形变的拓扑不变性的一些困惑。我们澄清，给定一个具有负Frobenius-Schur指标的TQFT，有两种常用约定将时空图解释为物理振幅，其中仅一种具有同痕不变性。我们澄清在此意义下基于Chern-Simons理论且具有负Frobenius-Schur指标的理论如何是同痕不变的，并解释Frobenius-Schur指标如何与世界线在Chern-Simons理论中需要标架密切相关。进一步，在图代数的非同痕不变解释中，我们展示通常可调用一种记账技巧将负号推到环的图值上（“环权”），使得图的大部分求值不因拉直之字形而产生负号，仅在最后一步加上负号。我们解释实现此所需的条件。我们进而考察平面时空图具有完全同痕不变性所需的条件，发现若已成功将之字形的符号推到环权上，唯一可能的阻碍来自一个与顶点相关的对象，称为“第三Frobenius-Schur指标”。最后我们讨论这在何种程度上赋予辫化理论完全同痕不变性。