随机非线性振子的图 perturbation 理论

我们考虑随机驱动的一维非线性振子 $\ddot{x}+2\Gamma\dot{x}+\omega^2_0 x+\lambda x^3 = f(t)$，其中 f(t) 为高斯噪声，在大部分工作中为 delta 关联（白噪声）。我们在频率空间中以系统的基于 Feynman 图的微扰理论构造线性响应函数。正如物理学其他领域，该展开以图中的圈数表征。这使我们能表明阻尼系数在 $O(\lambda^2)$（即两圈阶）获得修正。更重要的是，它导出了一个数值上微小但概念上有趣的结论：响应是探测随机系统所用频率的函数。该方法易于推广至不同种类的非线性，并将上述方程中的非线性项替换为 $\mu x^2$，我们便可讨论噪声驱动逃离势阱的问题。若向立方非线性情形添加周期强迫，则我们发现响应函数可有一项联合正比于噪声强度与周期驱动振幅的贡献。为在微扰理论中处理随机 Kapitza 问题，我们发现必须具备有色噪声。