涡量的随机拉格朗日动力学. I. 一般理论

Constantin 和 Iyer（2008, 2011）先前的数学工作表明，不可压缩 Navier-Stokes 解拥有无穷多个涡量的随机拉格朗日守恒律（时间反向），它们推广了 Cauchy（1815）对光滑 Euler 解不变量的结果。我们通过借助 Kuz'min（1983）-Oseledets（1989）的 Navier-Stokes 动力学表示（就与连续分布的无穷小涡环相关的涡动量密度而言），简化了这一针对壁面有界流动的理论。Constantin-Iyer 理论将任意内点的涡量精确表示为从壁面输运来的随机涡量贡献的平均。我们讨论了该拉格朗日公式与 Lighthill（1963）-Morton（1984）关于固体壁面涡量生成的欧拉理论的关系，也与 Taylor（1932）-Huggins（1994）的一个统计结果相关，后者将耗散阻力与涡量的有组织的跨流运动相联系，并且与量子超流体中的“Josephson-Anderson 关系”极为类似。我们详述了一种蒙特卡洛数值拉格朗日格式，以在给定欧拉时空速度场时计算随机 Cauchy 不变量及其统计。该方法利用湍流槽道流模拟的在线数据库（Graham 等 2016）进行了验证，其中对对应于“喷射”和“扫掠”的两个选定缓冲层事件验证了平均 Cauchy 不变量的守恒。随机 Cauchy 不变量的方差随时间反向呈指数增长，不过，这证实了先前关于槽道流湍流中拉格朗日混沌的观测。