具奇异系数的随机 Hamilton 流

本文研究 ${\mathbb R}^{2d}$ 中的如下随机 Hamilton 系统（一个二阶随机微分方程），$$d \dot X_t=b(X_t,\dot X_t)d t+\sigma(X_t,\dot X_t)d W_t,\ \ (X_0,\dot X_0)=(x,v)\in{\mathbb R}^{2d},$$ 其中 $b(x,v):{\mathbb R}^{2d}\to{\mathbb R}^d$ 和 $\sigma(x,v):{\mathbb R}^{2d}\to{\mathbb R}^d\otimes{\mathbb R}^d$ 是两个 Borel 可测函数。我们证明，如果 $\sigma$ 有界且一致非退化，并且对于某个 $p>2(2d+1)$ 有 $b\in H^{2/3,0}_p$ 和 $\nabla\sigma\in L^p$，其中 $H^{\alpha,\beta}_p$ 是在 $x$ 中可微性指标为 $\alpha$、在 $v$ 中可微性指标为 $\beta$ 的 Bessel 位势空间，则上述随机方程存在唯一的强解，使得 $(x,v)\mapsto Z_t(x,v):=(X_t,\dot X_t)(x,v)$ 构成一个随机同胚流，且 $(x,v)\mapsto Z_t(x,v)$ 是弱可微的，并满足 ess.$\sup_{x,v}E\left(\sup_{t\in[0,T]}|\nabla Z_t(x,v)|^q\right)<\infty$（对所有 $q\geq 1$ 和 $T\geq 0$）。此外，我们还通过证明相关鞅问题的适定性并使用 Figalli \cite{Fi} 和 Trevisan \cite{Tre} 建立的叠加原理，证明了具粗糙系数的动力学 Fokker-Planck 方程的概率测度值解的唯一性。