关于随机微分方程在整个空间中的精确非唯一性

本文我们研究了随机微分方程在 $\mathbb{R}^d, d \geq 2$ 上的问题：\begin{align*} \dif X_t &= v(t,X_t) \dif t + \sqrt{2} \dif W_t. \end{align*}对于任意初始概率测度集合 $\{\mu^i_0\}_{1 \leq i \leq M}$ 以及 $\frac{d}{p} + \frac{1}{r} > 1$，我们构造一个发散无旋流场 $v \in L_t^r L^p \cap C_t L^{d-}$，使得其关联的 SDE 来自每个初始测度 $\mu^i_0$ 至少存在两个不同的弱解。该结果是锐利的，因为众所周知的 $v \in C_t L^{d+}$ 时强解的唯一性已由 \cite{KR05} 证明。作为推论，存在一个测度为正的 Lebesgue 测度的可测集合 $A \subset \mathbb{R}^d$，使得对任意 $x \in A$，该 SDE 带漂移 $v$ 当以 $x \in A$ 为起点时至少存在两个弱解。我们的证明通过构造关联 Fokker-Planck 方程的两个不同的概率解来实现，这通过一种适用于整个 $\mathbb{R}^d$（而不仅限于 torus）的凸组合方法实现，同时结合了细化的热核估计。