安德森局域化转变中两点透射的统计

在安德森临界点，对于线性尺寸为 $L$ 的无序样品，两点透射 $T_L$ 的统计预期具有多重分形性质，并具有以下特性 [Janssen {\it et al} PRB 59, 15836 (1999)]：(i) 具有 $T_L \sim 1/L^{\kappa}$ 的概率行为为 $L^{\Phi(\kappa)}$，其中多重分形谱 $\Phi(\kappa)$ 在 $\kappa=0$ 处终止，这是物理约束 $T_L \leq 1$ 的结果；(ii) 控制矩 $\overline{T_L^q} \sim 1/L^{X(q)}$ 的指数 $X(q)$ 在某个阈值以上变得冻结：$X(q \geq q_{sat}) = - \Phi(\kappa=0)$，即所有阶数 $q \geq q_{sat}$ 的矩都由具有有限透射 ($\kappa=0$) 的稀有样品的测度控制。在本文中，我们针对 $L \times L$ 幂律随机带矩阵系综数值检验了这些预测，其中随机跳跃 $H_{i,j}$ 以幂律 $(b/| i-j |)^a$ 衰减。该模型已知在 $a=1$ 处呈现从局域态 ($a>1$) 到扩展态 ($a<1$) 的安德森转变，其临界性质连续依赖于参数 $b$。我们针对不同 $b$ 值的多重分形谱 $\Phi_b(\kappa)$ 的数值结果与关系式 $\Phi(\kappa \geq 0) = 2 [ f(\alpha= d+ \frac{\kappa}{2}) -d ]$ 一致，其中 $f(\alpha)$ 是单个临界本征函数的奇异性谱，特别地，典型指数通过关系式 $\kappa_{typ}(b)= 2 (\alpha_{typ}(b)-d)$ 相关联。我们还讨论了非局域相和局域相中两点透射的统计。