Cayley 树上作为多种概率分布行波临界点的 Anderson 相变

对于 Cayley 树上的 Anderson 局域化，我们研究了各种可观测量的统计作为无序强度 $W$ 和代数 $N$ 的函数。我们首先考虑 Landauer 透射率 $T_N$。在局域化相中，其对数遵循行波形式 $\ln T_N \simeq \bar{\ln T_N} + \ln t^*$，其中 无序平均值线性移动 $\bar{\ln (T_N)} \simeq - \frac{N}{\xi_{loc}}$，且局域化长度以 $\xi_{loc} \sim (W-W_c)^{-\nu_{loc}}$ 发散，其中 $\nu_{loc}=1$； 变量 $t^*$ 是一个具有幂律尾的固定随机变量，对于大的 $t^*$，$P^*(t^*) \sim 1/(t^*)^{1+\beta(W)}$，其中 $0<\beta(W) \leq 1/2$，使得 $T_N$ 的所有整数矩均由稀有事件主导。在离域化相中，当 $N \to \infty$ 时透射率 $T_N$ 保持为一个有限的随机变量，并且我们在临界点附近测量到本质奇异性 $\bar{\ln (T)} \sim - | W_c-W |^{-\kappa_T}$，其中 $\kappa_T \sim 0.25$。然后我们考虑了归一化本征态的统计性质，特别是熵和逆参与率。在局域化相中，典型熵以 $(W-W_c)^{- \nu_S}$ 发散，其中 $\nu_S \sim 1.5$，而在离域化相中它随 $N$ 线性增长。最后对于 I.P.R.，我们解释了密切相关的变量如何在离域化相中作为行波传播。总而言之，局域化相和离域化相均以某些概率分布的行波传播为特征，Anderson 局域化/离域化相变则对应于一个行波/非行波临界点。此外，我们的结果指向临界点处存在多个指数 $\nu$。