平稳耦合 KdV 族及其相关泊松结构

在本文中，我们继续分析 $M$ 分量耦合 KdV（cKdV）族及其修正族的平稳流。我们以 $M=3$ 的情形为主要例子，描述了 $t_1$ 和 $t_2$ 流的一般结构。我们的一个平稳约化给出具有 $N$ 个自由度的超可积系统。当 $N=1$（对应 $t_1$）和 $N=2$（对应 $t_2$）时，我们得到泊松映射，其给出流的多哈密顿表示。我们讨论了这些泊松张量的一般结构，并给出 $M=3$ 情形的显式形式。在此情形下有 3 个修正族，每个具有 4 个泊松括号。平稳 $t_2$ 流（对应 $N=2$）在抛物坐标中可分离。每个泊松括号秩为 4，具有 $M+1$ 个 Casimir。泊松张量的 $4\times 4$ “核”是非奇异的，并由“递归算子”相关联。每个张量的其余部分由两个对易哈密顿矢量场构建，依赖于特定的 Casimir。泊松括号被推广以包含整个在抛物坐标中可分离的势类。Jacobi 恒等式对某些参数施加特定依赖，表示扩展正则括号的 Casimir。此一般情形不再是具有 Lax 表示的平稳 cKdV 流。我们给出一种递归过程，用于为所有 $M$ 值的平稳流构造 Lax 表示，而{\em 无需}经过平稳约化。