双哈密顿算子、基于活动标架的曲线可积流与几何映射方程

利用各种活动标架，从常曲率流形和李群流形中非伸缩曲线的群不变流出发，推导出双哈密顿算子以及相关的多分量孤子方程层次。常曲率情形下的层次包括：由平行标架导出的矢量 mKdV 方程、由协变常数标架导出的矢量势 mKdV 方程，以及由底层矢量 mKdV 递推算子生成的高阶对应方程。在李群情形下，该层次包含由左不变标架导出的矢量 NLS 方程的群不变类似物，以及由类似于 mKdV 递推算子平方根的递推算子生成的高阶对应方程。相应的曲线流被发现由几何非线性偏微分方程给出，具体为 mKdV 和薛定谔映射的群不变类似物。在所有情形中，这些层次还包含由各自递推算子的核产生的矢量 sine-Gordon 方程的变体。描述相应曲线流的几何偏微分方程被证明是波映射。这些结果的完整细节针对两个主要情形给出：$S^2,S^3\simeq SU(2)$。