Stanley-Reisner 环与 Steinberg 表示在 hit 问题中的出现

G. Walker 与 R. Wood 证明了在次数 $2^n-1-n$ 下，$\Bbb F_2[x_1,\ldots,x_n]$ 的不可分解元空间（视作模 2 Steenrod 代数上的模）同构于 $GL_n(\Bbb F_2)$ 的 Steinberg 表示。我们通过分析 $\Bbb F_q[x_1,\ldots,x_n]$ 的某些有限商环（它们源于一些拟阵复形的 Stanley-Reisner 环）将这一结果推广到所有有限域。我们的方法还表明，在次数 $q^{n-1}-n$ 下的不可分解元空间具有等于 $GL_n(\Bbb F_q)$ 的某个复尖点表示维数的维数。作为副产品，在素域 $\Bbb F_2$ 上，我们给出了这些商环之一的 Steinberg 直和项分解为 Brown-Gitler 模的悬和的直和。该分解暗示了某拓扑空间的 Steinberg 模导出的稳定分解为其 Brown-Gitler 谱的悬和的楔和的存在性。