Alt-Phillips问题中的稳定与最小化锥

我们研究当指数$\gamma$接近1时，Alt-Phillips问题中齐次解的情况。在维数$d\ge3$时，我们证明当$\gamma$接近1时，径向锥是最小化的。在维数$d\ge4$中，我们构造了一个轴对称锥，其接触集与正密度有正面积。我们证明它是全局最小化器。它类似于对应指数$\gamma=0$的De Silva-Jerison \cite{DJ}锥。我们构造的锥从另一个最小化锥 bifurcation，该锥的接触集密度为零，作为径向解的平凡延伸获得。第二种锥类似于经典障碍问题中对应指数$\gamma=1$的二次多项式解。特别是，我们的结果表明，当$\gamma<1$且足够接近1时，存在表现出$\gamma=0$和$\gamma=1$两种端点情况性质的轴对称锥。