$\mathbb{C}^n$ 中 $n$-球包络的稳定性

我们研究 $\mathbf{S}^n$（即 $\mathbb{C}\times\mathbb{R}^{n-1}$ 的单位球面）在 $\mathbb{C}^n$ 中的小扰动所对应的（全局）Bishop 问题。我们证明，若 $S\subset\mathbb{C}^n$ 是 $\mathbf{S}^n$ 的充分小扰动（在 $\mathcal{C}^3$ 范数下），则 $S$ 界定一个 $(n+1)$ 维球 $M\subset\mathbb{C}^n$，该球由附着于 $S$ 的解析圆盘叶状化。此外，若 $S$ 是光滑的或实解析的，则 $M$（直至其边界）亦然。最后，若 $S$ 是实解析的（并满足一个温和条件），则 $M$ 既是 $S$ 的全纯包络也是其多项式凸包。这将先前已知的 $n=2$ 情形（CR 奇点孤立）推广到了更高维（CR 奇点非孤立）。