极小曲面在二次锥面附近的正则性

Hardt-Simon 证明了每一个仅具有孤立奇点的面积极小超锥 $\mathbf{C}$ 都可嵌入到 $\mathbb{R}^{n+1}$ 中由光滑、面积极小的超曲面构成的、渐近于 $\mathbf{C}$ 的叶状结构中。本文证明了：若单位球 $B_1 \subset \mathbb{R}^{n+1}$ 中的平稳 $n$-varifold $M$ 充分接近于一个极小二次锥（例如 Simons 锥 $\mathbf{C}^{3,3}$），则 $\mathrm{spt} M \cap B_{1/2}$ 是该锥本身或其相伴叶状结构中某一叶的 $C^{1,\alpha}$ 扰动。特别地，我们证明了以这些锥为模型的奇点不仅决定了 $M$ 的局部结构，也决定了任意邻近极小曲面的局部结构。我们的结果还蕴含了 Simon-Solomon 的伯恩斯坦型结果，该结果将渐近于二次锥的面积极小超曲面刻画为该锥本身或叶状结构中的某一叶。