纳维 - 斯托克斯方程滤波器的稳定性

数据同化方法旨在将物理系统的含噪观测值纳入基础模型中，以推断系统状态的特性。滤波器是指一类数据同化算法，旨在随着数据按顺序获取，以在线方式更新状态估计。对于受高斯噪声影响的线性问题，可以使用卡尔曼滤波器精确执行滤波。对于非线性系统，可以通过粒子滤波器以系统的方式进行近似。然而，在高维情况下，这些粒子滤波方法可能会失效。因此，对于天气预测等应用中出现的非线性大系统，通常使用各种启发式滤波器，主要基于高斯近似。本工作的目的是在二维不可压缩纳维 - 斯托克斯方程的背景下研究这些启发式滤波器的性质。通过在无限维设定下工作，我们提供了一种分析，有助于理解高维滤波，并且对网格细化具有鲁棒性。我们描述了理论结果，表明在观测噪声极小的极限下，只要系统在足够大的低维空间中被观测（粗略地说，该空间应足够大以包含线性化动力学的非稳定模态），滤波器可被调节以准确跟踪信号本身（滤波器稳定性）。文中给出了说明该理论的数值结果。在简化场景下，我们还推导并数值研究了一个随机偏微分方程，该方程在频繁观测且观测噪声较大的极限下决定了滤波器的稳定性。本文关于滤波器稳定性的积极结果，补充了最近的数值研究，后者表明启发式滤波器在重现真实信号周围的统计变化方面表现不佳。