耗散型偏微分方程滤波器的精度与稳定性

数据同化方法旨在将对物理系统的含噪观测融入底层模型，以推断系统状态的性质。滤波器是一类数据同化算法，设计用于在数据序贯获取时更新对状态的估计。对于受高斯噪声影响的线性问题，滤波可使用 Kalman 滤波器精确执行。对于非线性系统，可通过粒子滤波器以系统化方式进行近似。然而，在高维情形下，这些粒子滤波方法可能失效。因此，对于海洋学和天气预报等应用中产生的大型非线性系统，人们使用基于高斯近似的各种特设滤波器。在本工作中，我们在二维不可压缩 Navier-Stokes 方程的背景下研究这些特设滤波器的精度与稳定性。这些思想可自然地推广到一系列耗散型偏微分方程（PDE）。通过在这一无穷维设定下进行研究，我们提供了一种有助于理解高维滤波、且对网格细化具有鲁棒性的分析。我们描述的理论结果表明，在小观测噪声极限下，只要系统在一个足够大的低维空间中被观测，就可以通过调节使滤波器在追踪信号本身（滤波精度）方面表现准确；粗略地说，该空间应足够大以包含线性化动力学的不稳定模态。这种调节对应于应用文献中所谓的方差膨胀。文中给出了说明该理论的数值结果。本文关于滤波器稳定性的正面结果补充了最近的数值研究，这些研究表明特设滤波器在再现真实信号周围的统计涨落方面可能表现不佳。