具任意非线性参数$\kappa$的$(2+1)$维非线性Schrödinger方程精确解的稳定性

本工作中，我们考虑具任意非线性指数$\kappa$并存在外部约束势的$2+1$维非线性Schrödinger方程（NLSE）。我们构造了该系统的精确解，并探讨了其关于“质量”（即$L^2$范数）与参数$\kappa$的稳定性。我们从理论与数值上观察到，与无约束情形相比，约束势的存在导致参数空间中更宽的稳定域。我们的分析表明，只要质量小于临界值$M^{\ast}(\kappa)$，对所有$\kappa$均存在稳定的解 regime。此外，我们发现存在两种不同的临界质量，一种对应于宽度扰动，另一种对应于平移扰动。通过研究四参数集体坐标（4CC）近似的小振幅 regime，我们也得到了Derrick定理的结果。对NLSE的数值稳定性分析表明，不稳定曲线$M^{\ast}(\kappa)$随$\kappa$的变化位于Derrick定理与4CC近似所得两条曲线之下。在无外势时，$\kappa=1$划分了爆聚 regime 与稳定 regime。在此4CC近似中，对于$\kappa<1$，当质量高于平移不稳定性的临界质量时，集体坐标可能发生相当复杂的运动。能量守恒阻止了解的爆聚，并将解的中心限制于有限空间域中。我们称此 regime 为“受挫”爆聚 regime 并给出若干图示。在附录中，我们展示了如何将这些结果推广到任意初始基态解数据与任意空间维数$d$。