随机图上接触过程的临界值渐近性

接触过程[2]研究的近期进展已证实：Galton-Watson 树上的灭绝-存活阈值 $\lambda_1$ 严格为正，当且仅当后代分布 $\xi$ 具有指数尾。本文推导了 Galton-Watson 树上接触过程的 $\lambda_1$ 的一阶渐近性，以及其在随机图上对应的类似结果。特别地，若 $\xi$ 适当集中于其均值附近，我们证明当 $\mathbb{E}\xi\rightarrow \infty$ 时 $\lambda_1(\xi) \sim 1/\mathbb{E} \xi$，这与已知的 $d$-正则树上的渐近性相符。对于 Erd\H{o}s-R\'enyi 及其他随机图上的短-长存活阈值，也得到了相同结果。