慢—快哈密顿系统 separatrix 交叉区域中的稳定性岛

我们考虑一个具有 2 个自由度的哈密顿系统，其中一个自由度对应快运动，另一个对应慢运动。慢变量与快变量的时间导数之比的阶为 $0<\eps \ll 1$。在慢变量冻结时，快变量相平面上存在一条 separatrix（分界线），并且在相空间中存在一个区域（separatrix 交叉区域），其中相点在慢变量演化过程中其向快变量平面的投影反复穿越该 separatrix。在某一对称条件下，我们证明了在 separatrix 交叉区域中存在许多（阶为 $1/\eps$）稳定周期轨道。每条这样的轨道都被一个稳定性岛所包围，其测度由阶为 $\eps$ 的值从下方估计。因此，稳定性岛的总测度由与 $\eps$ 无关的值从下方估计。证明基于对相应庞加莱映射的渐近公式的分析。