快慢系统耦合中快双曲偏微分方程与慢常微分方程稳定性分析的频域方法

本文研究由双曲偏微分方程（PDE）与具有不同时间尺度的常微分方程（ODE）耦合而成的系统的指数稳定性，其中 PDE 的动力学远快于 ODE。这种时间尺度差异通过 PDE 时间导数前乘小参数 $\varepsilon$ 来建模，我们的稳定性分析依赖于奇异扰动方法。更确切地说，我们定义两个子系统：降阶系统，表示 $\varepsilon = 0$ 极限下完整系统的动力学；以及边界层系统，表示快时间尺度下 PDE 的动力学。我们的主要结果表明，若降阶系统与边界层系统均指数稳定，则对于足够小的 $\varepsilon$，完整系统亦指数稳定，且我们的策略基于对所述系统的谱分析。我们的主要结果改进了文献中先前的一个结果，该结果使用 Lyapunov 方法证明，且为得到相同结论对边界层系统要求了更强的假设。