二维常微分方程组中非双曲平衡点的稳定性指数

我们考虑以原点 $0$ 为非双曲平衡点的二维常微分方程组族。对任意 $s \in (-\infty, +\infty)$，我们证明可在这些方程中选取参数使得稳定性指数 $\sigma(0)$ 恰为 $\sigma(0)=s$。与之相对，对于双曲平衡点 $x$，已知要么 $\sigma(x)=-\infty$ 要么 $\sigma(x)=+\infty$。此外，我们讨论了一个平衡点局部不稳定但全局吸引的系统，突显了局部与非局部稳定性指数之间的一些细微差别。