共轭类的平方与 Baer-Suzuki 定理的一个变体

对于素数 $p$、有限群 $G$ 以及由 $p$ 阶元素构成的法子集 $A$，我们证明若 $A^2 = \{ab \mid a, b \in A\}$ 由 $p$ 元素组成，则 $Q = \langle A \rangle$ 是可解群。进一步，若 $O_p(G) = 1$，我们证明 $p$ 为奇数、$F(Q)$ 为非平凡 $p'$-群且 $Q/F(Q)$ 为初等交换 $p$-群。我们还给出例子说明该结论已是最佳可能。