Bunimovich 体育场中准模的扩散

我们考虑 Bunimovich 体育场 $S$ 的 Dirichlet 特征函数 $u_\lambda$，满足 $(\Delta - \lambda^2) u_\lambda = 0$。记 $S = R \cup W$，其中 $R$ 为中央矩形，$W$ 表示“翼”，即两个半圆区域。在量子理论中，特征函数能否在 $\lambda \to \infty$ 时集中于 $R$ 内是一个当前关注的问题。在假设 $u_\lambda$ 自身为 $L^2$-归一化的前提下，我们得到了 $u_\lambda$ 在 $W$ 中 $L^2$ 质量的下界 $C \lambda^{-2}$；换言之，$u_\lambda$ 的 $L^2$ 范数被 $\lambda^2$ 乘以其在 $W$ 中的 $L^2$ 范数所控制。此外，若 $u_\lambda$ 是一个 $o(\lambda^{-2})$ 准模，同样结论成立；而对于一个 $o(1)$ 准模，我们证明 $u_\lambda$ 的 $L^2$ 范数被 $\lambda^4$ 乘以其在 $W$ 中的 $L^2$ 范数所控制。我们还证明 $u_\lambda$ 的 $L^2$ 范数可被沿 $\partial S \cap W$ 的积分 $w \abs{\partial_N u}^2$ 所控制，其中 $w$ 是 $W$ 上在 $R \cap W$ 处为零的光滑因子。这些结果补充了 Burq-Zworski 的近期工作，其表明 $u_\lambda$ 的 $L^2$ 范数被包含在 $R$ 中但与 $W$ 相邻的任意一对条带中的 $L^2$ 范数所控制。