极小长度脊

在本文中，我们提出了每个闭 Riemannian 流形是否都具有极小面积脊的问题，并在曲面情形下给出了肯定的回答。在常曲率曲面上，我们引入了脊收缩量，它是模空间上的一个连续实函数，用于测量每个曲面上脊的极小长度。我们证明了脊收缩量是一个正常函数，并且其全局极小值恰好出现在极值曲面（包含最大可能圆盘的曲面）上。我们还研究了作为长度泛函临界点的极小脊。我们完全分类了平坦环面上的极小脊，证明了它们的数量是模空间上的一个正常函数。我们还证明了在双曲曲面上，长度一致有界的极小脊的数量是有限的。