尖峰、根与调制：有限支撑复测度的相位恢复

我们研究从强度测量中恢复有限支撑分布（即 Dirac 测度的复线性组合）的问题。分布 $\mu=\sum_{j=1}^{s}c_{j}\delta_{t_{j}}$ 由系数向量 $c\in\mathbb{C}^s$ 给出，其支撑 $\{t_1, t_2, \dots, t_s\}$ 包含于某 $\Lambda>0$ 时的 $[0,\Lambda]$ 中。强度测量对作用于 $\mu$ 的一组线性泛函的（平方）幅值进行评估，这些泛函通过采样 $\mu$ 的傅里叶变换 $\hat \mu$ 或评估调制样本间的差分获得。遵循 Alexeev 等人的策略，线性泛函乃至非线性幅值测量的结构由图编码：顶点表示在 $\{v_1, v_2, \dots, v_n\} \subset [-\Omega,\Omega]$ 上对 $\hat \mu$ 的点评估，每条边表示与其关联顶点间的（调制）差分。我们证明，度为 $d \ge 3$ 且顶点数 $n>\frac{6(1 + 6 /\ln(s/\Lambda\Omega)) s}{1-2\sqrt{d-1}/d}$ 的 Ramanujan 图所提供的 $M=(d+1)n$ 个幅值足以在整体单模乘法常数意义下确定该复测度。以引入额外过采样步骤及要求 $n-1$ 为素数为代价，我们基于 Prony 方法构造了显式恢复算法。