基于模约简测量的尖峰协方差估计

考虑秩-1 尖峰模型:$\bf{X}=\sqrt{\nu}\xi \bf{u}+ \bf{Z}$,其中 $\nu$ 为尖峰强度,$\bf{u}\in\mathbb{S}^{k-1}$ 为未知方向且 $\xi\sim \mathcal{N}(0,1),\bf{Z}\sim \mathcal{N}(\bf{0},\bf{I})$。受模数转换近期进展的启发,我们研究从 $n$ 个独立同分布的模约简测量 $\bf{Y}=[\bf{X}]\mod \Delta$ 中恢复 $\bf{u}\in \mathbb{S}^{k-1}$ 的问题,聚焦于高维 regime($k\gg 1$)。我们开发并分析了一种算法,对于大多数方向 $\bf{u}$ 和 $\nu=\mathrm{poly}(k)$,该算法使用 $n=\mathrm{poly}(k)$ 个测量以高精度估计 $\bf{u}$,前提是 $\Delta\gtrsim \sqrt{\log k}$。在常数因子范围内,我们的算法在允许(在信息论意义上)从 $\bf{Y}$ 恢复 $\bf{X}$ 的最小可能 $\Delta$ 处准确估计 $\bf{u}$。我们分析中的一个关键步骤涉及估计长度为 $\approx\sqrt{\nu}$ 的随机方向 $\bf{u}$ 线段经过格点 $\Delta \mathbb{Z}^k$ 中某点附近的概率。数值实验表明所开发算法在非渐近设定下也表现良好。