基于短时傅里叶变换测量的超分辨率理论

虽然脉冲序列显然不是带限的，超分辨率理论告诉我们，只要脉冲间的最小间距 $\Delta$ 不太小，从低通傅里叶变换测量中完美恢复未知脉冲位置和权重是可能的。具体而言，对于测量截止频率 $f_c$，Donoho [2] 证明了如果脉冲 (在 $\mathbb{R}$ 上) 位于格上且 $\Delta > 1/f_c$，则精确恢复是可能的，但未指定相应的恢复方法。Cand$\text{\`e}$s 和 Fernandez-Granda [3, 4] 提供了一种凸规划方法来恢复周期性脉冲序列 (即环面 $\mathbb{T}$ 上的脉冲序列)，当 $\Delta > 2/f_c$ 且 $f_c \geq 128$，或 $\Delta > 1.26/f_c$ 且 $f_c \geq 10^3$ 时可证明其成功，且不需要基本周期内的脉冲位于格上。在本文中，我们发展了一种基于短时傅里叶变换 (STFT) 测量的超分辨率理论。具体而言，我们提出了一种在精神上类似于 [3] 中针对纯傅里叶测量的恢复方法。对于宽度为 $\sigma = 1/(4f_c)$ 的 STFT 高斯窗函数，可证明该方法在 $\Delta > 1/f_c$ 时成功，且对 $f_c$ 没有限制。我们的理论基于恢复问题的测度论表述，这带来了相当大的普适性，即结果是无网格的，并适用于 $\mathbb{R}$ 和 $\mathbb{T}$ 上的脉冲序列。$\mathbb{R}$ 上脉冲序列的情况伴随着显著的技术挑战。对于 $\mathbb{T}$ 上脉冲序列的恢复，我们证明了可以通过求解一系列有限维凸规划问题，在弱-* 拓扑下逼近正确解。