三维欧氏运动群齐性向量丛上的球分析

我们考虑$\mathbb{R}^3$作为由旋转和平移给出的运动群作用的齐性流形。对于任意$\tau\in \widehat{SO(3)}$，令$E_\tau$为与$\tau$关联的$\mathbb{R}^3$上的齐性向量丛。一个有趣的问题在于研究$E_\tau$的截面上的有界线性算子集合，这些算子在$SO(3)\ltimes \mathbb{R}^3$作用下不变。此类算子对应于取值于$End(V_\tau)$的、双-$\tau$-等变的、在$\mathbb{R}^3$上可积的函数，并且它们与卷积乘积一起构成交换代数。我们发展了该代数上的球分析，显式计算$\tau$-球函数。我们首先给出$E_\tau$上$SO(3)\ltimes \mathbb{R}^3$-不变微分算子代数的生成元集合。我们还给出$\tau$-球傅里叶变换的显式形式，推导出反演公式，并用它给出取值于$End(V_\tau)$的、双-$\tau$-等变的、在$\mathbb{R}^3$上函数的刻画。