张力与压缩下自由杆的谱

本文中，我们研究一维振动自由杆方程 $u^{(4)}-\tau u"=\mu u$ 在张力 $(\tau>0)$ 或压缩 $(\tau<0)$ 下的谱。特征值 $\mu$ 作为张力/压缩参数 $\tau$ 的函数表现出三种不同类型的行为。特别地，下半平面中的特征值分支展现出几乎避免交叉的级联模式。我们通过隐式参数化特征值曲线，给出了特征函数与特征值的完整描述。我们还建立了特征值曲线的性质，如单调性、交叉、渐近增长、级联和幻影谱线。