马尔可夫链转移算子估计的谱阈值方法

我们考虑马尔可夫链的转移算子 $P$ 及其转移密度 $p$ 的非参数估计，其中假设 $P$ 的奇异值呈指数快速衰减。例如，低频观测到的周期化、可逆多维扩散过程即属此情形。我们研究了一种谱硬阈值 Galerkin 型估计子在 $P$ 和 ${p}$ 上的表现，该估计子舍弃了大部分估计得到的奇异三元组。其构造基于小波或 B 样条等光滑基函数。我们通过建立 $L^2$ 损失下相匹配的极小极大上界与下界，证明了其统计最优性。特别地，与无奇异值衰减的情形相比，状态空间维数 $d$ 对非参数收敛速率的影响由 $2d$ 改善为 $d$。