估计迹类 Markov 算子的谱隙

Markov 链 Monte Carlo 算法的效用在很大程度上取决于相应 Markov 算子谱隙的大小。然而，事实证明，计算（甚至近似）统计学中实用的 Monte Carlo Markov 链的谱隙是一项极其困难且往往无法克服的任务，特别是当这些链在连续状态空间上转移时。在本文中，针对算子为非负且迹类的一般状态空间 Markov 链，我们开发了一种精确估计其谱隙的方法。该方法基于这样一个事实：此类算子的第二大特征值（进而谱隙）可以被特征值幂和的简单函数在上下界所界定。这些幂和通常具有良好的积分表示。我们提出了一种经典的 Monte Carlo 方法来估计这些积分，并给出了有限方差的一个简单充分条件。这导出了 Markov 算子第二大特征值（及谱隙）的渐近有效置信区间。与现有技术不同，我们的方法不基于 Markov 链的近平稳版本；矛盾的是，在没有谱隙界限的情况下，无法以有原则的方式获得该近平稳版本。另一方面，从计算的角度来看，该方法可能相当昂贵。我们从理论和经验两方面研究了该方法的效率。