算子对的谱曲面与 F 型 Hadamard 矩阵

众所周知，通常情况下，算子元组的射影联合谱中出现有限重数的代数超曲面，并不意味着有限维公共不变子空间的存在。我们证明，如果对于算子对 A, B，$A, B$ 和 $AB$ 的射影联合谱包含曲面 $\{[x,y,z,t]\in {\mathbb C}{\mathbb P}^3: x^n+y^n+(-1)^{n-1}z^n-t^n=0\}$，则在某些温和条件下，这蕴含着存在一个对于 $A$ 和 $B$ 均不变的 $n$ 维子空间。研究表明，该曲面的出现与复 Hadamard 矩阵有关。我们给出了 F 型 Hadamard 矩阵生成这样算子对 $A,B$ 的充分条件。在存在复 Hadamard 矩阵完整描述的维度 $n=3,4,5$ 处，该条件也被证明是必要的。最后，我们证明，如果算子对 $A,B$ 使得 $A,B,AB$ 和 $BA$ 的射影联合谱包含 $\{ [x,y,z_1,z_2,t]\in {mathbb C}{mathbb P}^4: x^n+y^n+(-1)^{n-1}(e^{2\pi I/n}z_1+z_2)^n-t^n=0\}$，则该算子对由 Fourier 矩阵 $F_n$ 生成。