保持算子广义积周边谱的映射

设 $\mathcal{A}_1$ 和 $\mathcal{A}_2$ 分别是复 Banach 空间 $X_1$ 和 $X_2$ 上的标准算子代数。对于 $k\geq2$，设 $(i_1,...,i_m)$ 是一个项选自 $\{1,\ldots,k\}$ 的序列，并假设 $(i_1,\ldots,i_m)$ 中至少有一项恰好出现一次。在 $\mathcal{A}_i$ 的元素上定义广义积 $T_1* T_2*\cdots* T_k=T_{i_1}T_{i_2}\cdots T_{i_m}$。设 $\Phi:\mathcal{A}_1\rightarrow\mathcal{A}_2$ 是一个值域包含所有秩至多为二的算子的映射。我们证明，$\Phi$ 满足对所有 $A_1,\ldots, A_k$ 有 $\sigma_\pi(\Phi(A_1)*\cdots*\Phi(A_k))=\sigma_\pi(A_1*\cdots* A_k)$（其中 $\sigma_\pi(A)$ 表示 $A$ 的周边谱），当且仅当 $\Phi$ 是一个同构或一个反同构乘以一个 $m$ 次单位根，且后一种情况仅在广义积为准半 Jordan 积时发生。如果 $X_1=H$ 和 $X_2=K$ 是复 Hilbert 空间，我们还刻画了保持斜广义积周边谱的映射，并证明此类映射具有 $A\mapsto cUAU^*$ 或 $A\mapsto cUA^tU^*$ 的形式，其中 $U\in\mathcal{B}(H,K)$ 是酉算子，$c\in\{1,-1\}$。