投影联合谱与 $\tilde{A}_n$ 表示的特征标

对于一个由 $N\times N$ 复值方阵 $A_1,\dots,A_n$ 组成的元组，它们的线性组合 $x_1A_1+\cdots +x_nA_n$（被称为 \textit{束}）的行列式是 $\C[x_1,...x_n]$ 中的一个 $N$ 次齐次多项式。该多项式的零集是射影空间 $\C\Po^{n-1}$ 中的一个代数集。该集合被称为元组 $(A_1,...,A_n)$ 的行列式超曲面或行列式流形。Cuckovic, Stessin, Tchernev (2021) 证明了，如果 $G$ 是类型 $A$、$B$ 或 $D$ 的非特殊 Coxeter 群，$\rho_1$ 和 $\rho_2$ 是 $G$ 的两个线性表示，并且 $G$ 的 Coxeter 生成元在 $\rho_1$ 和 $\rho_2$ 下像的行列式超曲面作为射影空间中的除子重合，那么 $\rho_1$ 和 $\rho_2$ 的特征标相等，因此 $\rho_1$ 和 $\rho_2$ 等价。在 Peebles, Stessin, Tchernev（撰写中）中，该结果在特征标部分被推广到了类型 $B$、$C$ 和 $D$ 的仿射 Coxeter 群。那里证明了每个这样的群都包含一个有限子集，使得如果该子集在两个有限维表示下的像的行列式超曲面作为射影空间中的除子重合，则这些表示的特征标相等。值得注意的是，$A$ 型仿射 Coxeter 群不包含在此结果中，因为它们的组合性质截然不同。在本文中，我们显式地构造了 $\tilde{A}_n$ 中具有相同性质的有限集。我们还证明了，每个由有限群和有限生成阿贝尔群构成的半直积群都包含具有类似性质的有限子集：对于该群的每个有限维表示，该子集像的行列式超曲面决定了该表示的特征标。