二维湍流 Leray-$\alpha$ 模型的谱标度

我们展示了二维湍流 Navier-Stokes-$\alpha$ 和 Leray-$\alpha$ 模型的高分辨率数值模拟数据。此前已有研究（Lunasin 等，J. Turbulence, 8, (2007), 751-778）表明，对于满足 $k\alpha\gg 1$ 的波数 $k$，二维 Navier-Stokes-$\alpha$ (NS-$\alpha$) 模型的平滑速度场能谱按 $k^{-7}$ 标度。该结果与利用其特征时间尺度对守恒涡通量进行量纲分析推导出的标度一致。因此，我们假设任何 $\alpha$ 模型在次 $\alpha$ 空间尺度下的谱标度必须仅取决于该尺度范围内主导级联量的特征时间尺度和动力学。此处展示的二维 Leray-$\alpha$ 模型模拟数据证实了我们的假设。我们表明，对于 $k\alpha\gg 1$，二维 Leray-$\alpha$ 的能谱按 $k^{-5}$ 标度，这与 Leray-$\alpha$ 模型守恒涡通量通量的特征时间尺度预期一致。这些结果使我们得出结论：模型方程中主导的直接级联量必须决定能谱的标度。