关于Clark-alpha湍流模型：全局正则性与长时间动力学

本文研究了一个著名的三维湍流模型——滤波Clark模型，即Clark-alpha模型。这是一种具有宽度为alpha（$\alpha$）的额外空间滤波的大涡模拟（LES）张量扩散率湍流模型。我们证明了该模型在恒定纳维-斯托克斯（涡）黏性下的全局适定性。此外，我们建立了该耗散演化系统有限维全局吸引子的存在性，并给出了其分形维数和豪斯多夫维数的解析估计。我们的估计与$(L/l_d)^3$成正比，其中$L$是积分空间尺度，$l_d$是黏性耗散长度尺度。这个显式界限与基于启发式论证的自由度数物理估计一致。利用半严格的物理论证，我们证明了Clark-$\alpha$模型能量谱的惯性范围对于波数$k\alpha \ll 1$具有通常的$k^{-5/3}$柯尔莫哥洛夫幂律，对于$k\alpha \gg 1$具有$k^{-3}$衰减幂律。这表明Clark-$\alpha$模型有效地参数化了惯性范围内的较大波数（$k\alpha \gg 1$），使得它们比纳维-斯托克斯方程中的对应波数包含更少的平移动能。