求积规则与广义球面设计的谱局限性

我们研究了配备求积规则的流形 $M$ $$\int_{M}{\phi(x) dx} \simeq \sum_{i=1}^{n}{a_i \phi(x_i)}.$$ 我们证明，在紧致 $d$ 维流形上具有非负权重的 $n$ 点求积规则最多只能精确积分前 $c_{d}n + o(n)$ 个 Laplace 特征函数。常数 $c_d$ 已被显式计算，其中 $c_2 = 4$。即使在 $\mathbb{S}^2$ 上该结果也是全新的，它推广了关于球面设计的已有结果。