稀疏系统诱导的非独立随机矩阵系综的谱分布

对于两个稀疏序列 $(M_{n,1})_{n\geq 2},(M_{n,2})_{n\geq 0}$ 和适当的函数 $f$，我们引入随机矩阵系综，其元素为 \begin{equation*} X_{n,n'}=f(M_{n+n',1}x_1,M_{|n-n'|,2}x_2). \end{equation*} 在序列 $(M_{n,1})_{n\geq 1}$ 具有某些进一步的数论性质下，我们证明了平均经验特征值分布弱收敛于半圆律。此外，我们给出示例表明，即使在此类特定的随机矩阵系综中，谱的渐近行为也变得微妙。我们证明，即使两个条目之间的相关性随距离呈指数衰减，经验谱分布通常也不收敛于半圆律。对于 $f(x_1,x_2)=1/\sqrt{2}\cdot(\cos(2\pi(x_1+x_2))+\cos(4\pi(x_1+x_2)))$ 且 $M_{n,1}=2^n$ 的情况，我们表明平均经验谱分布不收敛于半圆律；而对于任何满足 $n\to\infty$ 时 $M_{n+1,1}/M_{n,1}\to\infty$ 的序列 $(M_{n,1})_{n\geq 1}$ 以及任何均值为零、方差为单位方差且在 Hardy 和 Krause 意义下具有有限全变差的周期函数 $f$，平均谱分布收敛于半圆律。