Halphen 算子的谱曲线

Halphen 算子是一个三阶算子，形式为 $$L_3=\partial_x^3-g(g+2)\wp(x)\partial_x-\frac{1}{2}g(g+2)\wp'(x),$$ 其中 $g\ne 2\,\mbox{mod(3)}$，Weierstrass $\wp$-函数满足方程 $$(\wp'(x))^2=4\wp^3(x)-g_2\wp(x)-g_3.$$ 在等调和情形（即 $g_2=0$）下，Halphen 算子与某个阶数 $n\ne 0\,\mbox{mod(3)}$ 的常微分算子 $L_n$ 对易。本文求出了算子对 $L_3,L_n$ 的谱曲线。