边独立随机图的谱

设 $G$ 是顶点集为 $\{1,2,..., n\}$ 的随机图，其中 $G$ 中的边由独立的随机指示变量确定，而 $\{i,j\}$ 成为 $G$ 中边的概率 $p_{ij}$ 不假定为相等。Oliveira 以及 Chung-Radcliffe 最近研究了 $G$ 的邻接矩阵和归一化拉普拉斯矩阵的谱。设 $A$ 为 $G$ 的邻接矩阵，$\bar A=\E(A)$，$\Delta$ 为 $G$ 的最大期望度。Oliveira 首先证明了只要 $\Delta\geq C \ln n$（$C$ 为某常数），则几乎必然有 $\|A-\bar A\|=O(\sqrt{\Delta \ln n})$。Chung-Radcliffe 利用一种新的随机矩阵 Chernoff 型不等式改进了误差项中的隐藏常数。在此我们证明，在稍强的条件 $\Delta\gg \ln^4 n$ 下，几乎必然有 $\|A-\bar A\|\leq (2+o(1))\sqrt{\Delta}$。对于 $G$ 的拉普拉斯算子 $L$，Oliveira 和 Chung-Radcliffe 证明了类似的结果：只要最小期望度 $\delta\gg \ln n$，就有 $\|L-\bar L|=O(\sqrt{\ln n}/\sqrt{\delta})$；我们在某些温和条件下通过从误差项中移除 $\sqrt{\ln n}$ 乘数因子也改进了他们的结果。我们的结果自然地适用于经典的 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图、具有给定期望度序列的随机图以及一般图的键渗流。