二部符号有向图的谱与能量

符号有向图 $S$ 的不同特征值及其重数的集合称为其谱。具有特征值 $z_1,z_2,\cdots,z_n$ 的符号有向图 $S$ 的能量定义为 $E(S)=\sum_{j=1}^{n}|\Re z_j|$，其中 $\Re z_j$ 表示复数 $z_j$ 的实部。在本文中，我们证明：对于阶数为 $n$ 的二部符号有向图，若每个长度 $\equiv 0\pmod 4$ 的圈为负，且每个长度 $\equiv 2\pmod 4$ 的圈为正，则其特征多项式具有如下形式：\n$$\phi_S(z)=z^n+\sum\limits_{j=1}^{\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor}(-1)^j c_{2j}(S)z^{n-2j},$$\n其中 $c_{2j}(S)$ 为非负整数。我们在此情形下定义了一种拟序关系并证明能量是递增的。我们还证明：对于阶数为 $n$ 的二部符号有向图，若每个圈均为负，则其特征多项式具有如下形式\n$$\phi_S(z)=z^n+\sum\limits_{j=1}^{\lfloor{\frac{n}{2}}\rfloor}c_{2j}(S)z^{n-2j},$$\n其中 $c_{2j}(S)$ 为非负整数。我们研究了整数、实数、高斯符号有向图及拟同谱有向图，并证明对于每个正整数 $n\ge 4$，存在一个由 $n$ 个同谱、非对称、强连通、整数、实数、高斯符号有向图（非圈平衡）及阶数为 $4^n$ 的拟同谱有向图构成的族。我们获得了一个新的等能量强连通符号有向图对族，并回答了 Pirzada 和 Mushtaq 在《符号有向图的能量》（Discrete Applied Mathematics 169 (2014) 195-205）中提出的公开问题 (2)。